Sujet et corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths de juin 2014 en Polynésie
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Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points :
1. Déterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire.
On calcule les longueurs des côtés du triangle :
On remarque immédiatement que : , donc le triangle BCD est rectangle en C (par la propriété de Pythagore).
Son aire :
2.a. Montrer que le vecteur est un vecteur normal au plan (BCD).
Deux vecteurs directeurs (non colinéaires) du plan (BCD) sont :
soit
et
soit
On calcule :
Du coup est orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan donc est normal au plan.
b. Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).
Comme est normal au plan (BCD), ce dernier admet une équation cartésienne de la forme :
Comme (BCD) passe par B, les coordonnées de B vérifient l'équation soit :
Donc une équation cartésienne de (BCD) est .
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite orthogonale au plan (BCD) et passant par le point A.
La droite est orthogonale au plan (BCD) donc est un vecteur directeur de .
Du coup on a directement la représentation paramétrique :
4. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite et du plan (BCD).
On résout le système :
Donc .
5. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD.
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule :
où est l'aire d'une base du tétraèdre et la hauteur correspondante.
Pour ce tétraèdre on considère la base BCD et la hauteur [AH].
l'aire de la base est (question 1)
Du coup le volume du tétraèdre ABCD est :
.
6. On admet que et .
Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle .
On travaille dans le triangle ABC, dont les longueurs des côtés sont :
Ce triangle n'est pas rectangle, pour déterminer une mesure de l'angle , nous utilisons le théorème de « Pythagore généralisé » (vu en première) :
on obtient :
d'où
et
En utilisant la calculette degrés.
