Sujet et corrigé de l'exercice de spécialité du bac S de maths de juin 2014 en Polynésie
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Dans cet exercice, on appelle numéro du jour de naissance le rang de ce jour dans le mois et numéro du mois de naissance, le rang du mois dans l'année.
Par exemple, pour une personne née le 14 mai, le numéro du jour de naissance est 14 et le numéro du mois de naissance est 5.
Partie A
Lors d'une représentation, un magicien demande aux spectateurs d'effectuer le programme de calcul (A) suivant :
« Prenez le numéro de votre jour de naissance et multipliez-le par 12.
Prenez le numéro de votre mois de naissance et multipliez-le par 37.
Ajoutez les deux nombres obtenus.
Je pourrai alors vous donner la date de votre anniversaire ».
Un spectateur annonce 308 et en quelques secondes, le magicien déclare :
« Votre anniversaire tombe le 1er août ! ».
1. Vérifier que pour une personne née le 1er août, le programme de calcul (A) donne effectivement le nombre 308.
2.a. Pour un spectateur donné, on note le numéro de son jour de naissance, celui de son mois de naissance et le résultat obtenu en appliquant le programme de calcul (A).
Exprimer en fonction de et de et démontrer que et sont congrus modulo 12.
Modulo 12 on a :
avec et
ce qui donne :
b. Retrouver alors la date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre 474 en appliquant le programme de calcul (A).
modulo 12, donc le spectateur est né en juin.
, donc :
et
Le spectateur est né le 21 juin.
Partie B
Lors d'une autre représentation, le magicien décide de changer son programme de calcul.
Pour un spectateur dont le numéro du jour de naissance est et le numéro du mois de naissance est , le magicien demande de calculer le nombre défini par .
Dans les questions suivantes, on étudie différentes méthodes permettant de retrouver la date d'anniversaire du spectateur.
1. Première méthode :
On considère l'algorithme suivant :
| Variables : | et sont des entiers naturels |
| Traitement : | Pour allant de 1 à 12 faire : |
| Pour allant de 1 à 31 faire : | |
| prend la valeur | |
| Afficher | |
| Fin Pour | |
| Fin Pour |
Modifier cet algorithme afin qu'il affiche toutes les valeurs de et de telles que .
| Variables : | et sont des entiers naturels |
| Traitement : | Pour allant de 1 à 12 faire : |
| Pour allant de 1 à 31 faire : | |
| prend la valeur | |
| Si alors : | |
| Afficher et | |
| Fin si | |
| Fin Pour | |
| Fin Pour |
2. Deuxième méthode :
a. Démontrer que et ont le même reste dans la division euclidienne par 12.
On remarque que modulo 12.
Du coup modulo 12 :
, soit .
b. Pour variant de 1 à 12, donner le reste de la division euclidienne de par 12.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
| 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 | |
| reste modulo 12 | 7 | 2 | 9 | 4 | 11 | 6 | 1 | 8 | 3 | 10 | 5 | 0 |
En déduire la date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre 503 avec le programme de calcul (B).
modulo 12.
modulo 12 entraîne que (en utilisant le tableau de la question précédente), donc le spectateur est né en mai.
et
Donc le spectateur est né le 29 mai.
3. Troisième méthode :
a. Démontrer que le couple est solution de l'équation .
,
donc effectivement est solution de l'équation.
b. En déduire que si un couple d'entiers relatifs est solution de l'équation , alors .
Soit un couple solution de l'équation alors :
En remplaçant 503 par il vient :
c. Déterminer l'ensemble de tous les couples d'entiers relatifs , solutions de l'équation .
Comme on a et comme 12 et 31 sont premiers entre eux, d'après le théorème de Gauss :
12 divise , donc il existe tel que :
soit
En remplacant par dans il vient :
Du coup, si est solution de l'équation , alors et avec .
Réciproquement, pour tout :
Donc l'ensemble des solutions de l'équation est l'ensemble des couples avec .
d. Démontrer qu'il existe un unique couple d'entiers relatifs tel que .
En déduire la date d'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre 503 avec le programme de calcul (B).
On résout dans :
avec et .
Donc (c'est le seul entier relatif dans l'intervalle obtenu).
Du coup et et on retrouve bien la date d'anniversaire du spectateur à savoir le 29 mai.
