Corrigé de l'exercice 3 du bac S 2012 de maths du bac à Pondichéry
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On considère les suites
et 
définies pour tout entier naturel 
par :
définies sur l'intervalle 
par
:
a. Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite
en expliquant la démarche.
Sur l'intervalle 
, les fonctions 
sont définies, continues et positives. Donc pour
tout entier naturel , 
représente l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de , l'axe des abscisses, la droite d'équation 
et
la droite d'équation 
.
Par observation du graphique, l'aire de ce domaine diminue lorsque augmente, ainsi on conjecture que la suite 
est décroissante.
b. Démontrer cette conjecture.
, les fonctions sont définies, continues et positives. Donc pour
tout entier naturel , représente l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de , l'axe des abscisses, la droite d'équation et
la droite d'équation .
Par observation du graphique, l'aire de ce domaine diminue lorsque augmente, ainsi on conjecture que la suite est décroissante.
Pour tout entier naturel , on a :
Pour tout 
, le signe de 
est le même que celui de 
.
Donc pour tout , 
et donc 
soit
ce qui prouve que la suite est décroissante.
, on a :
Pour tout , le signe de est le même que celui de .
Donc pour tout , et donc soit
ce qui prouve que la suite est décroissante.
2.a. Montrer que pour tout entier
et pour tout nombre réel 
de l'intervalle :
Pour tout entier 
et pour tout , les quantités qui interviennent sont de façon évidente positives.
b. Montrer que les suites et pour tout , les quantités qui interviennent sont de façon évidente positives.
- Comparaison de
et 
:
Comme , cette dernière quantité est négative donc on a :
, soit
- Comparaison de et
Comme précédemment la quantité obtenue est négative pour donc :
soit 
.
et sont convergentes et déterminer leur limite.
On intègre sur l'inégalité précédente (on rappelle que l'intégration conserve l'ordre à condition que la borne inférieure de l'intégrale, ici 0, soit
inférieure à la borne supérieure, ici 1) :
.
Il reste à calculer :
.
On a :
.
Ainsi on a : 
avec 
, donc d'après le théorème des gendarmes les suite et 
convergent vers 0.
3.a. On admet que pour tout entier l'inégalité précédente (on rappelle que l'intégration conserve l'ordre à condition que la borne inférieure de l'intégrale, ici 0, soit
inférieure à la borne supérieure, ici 1) :
.
Il reste à calculer :
.
On a :
-
-
et par composition 
, enfin
par quotient 
.
Ainsi on a : avec , donc d'après le théorème des gendarmes les suite et
convergent vers 0.
:
Dans le sujet original il faut établir la relation proposée en effectuant une intégration par parties.
Depuis la rentrée 2012, la méthode d'intégration par parties ne figure plus dans les programmes.
b. En déduire 
.
En utilisant la relation précédente :
On a : et 
donc par somme
.
On a : et donc par somme
.
