Corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths d'avril 2013 à Pondichéry
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Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe.- Un salarié malade est absent
- La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade.
- Si la semaine
le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine 
avec une probabilité égale à 0,04.
- Si la semaine le salarié est malade, il reste malade la semaine avec une probabilité égale à 0,24.
On désigne, pour tout entier naturel
supérieur ou égal à 1, par 
l'événement
« le salarié est absent pour cause de maladie la -ième semaine ». On note 
la probabilité de l'événement .
On a ainsi : 
et, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 : 
.
1.a. Déterminer la valeur de 
à l'aide d'un arbre de probabilité.
On a l'arbre suivant en remarquant que la première semaine le salarié n'est pas malade.
et 
forment une partition de l'univers donc d'après la formule des probabilités totales :
Donc 
.
b. Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
et forment une partition de l'univers donc d'après la formule des probabilités totales :
Donc .
Il s'agit de calculer :
2.a. Recopier sur la copie et compléter l'arbre de probabilité donné ci-dessous
supérieur ou égal à 1, 
.
On utilise la formule des probabilités totales avec la partition 
ce qui donne :
c. Montrer que la suite ce qui donne :
définie pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 par 
est une suite géométrique
dont on donnera le premier terme et la raison 
. En déduire l'expression de 
puis de en fonction de et .
Pour tout entier 
on a :
Donc 
est une suite géométrique de raison 0,2 et de premier terme 
(
, puisque le salarié n'est pas malade la première semaine).
On a alors : 
;
et : 
d. En déduire la limite de la suite on a :
Donc est une suite géométrique de raison 0,2 et de premier terme
(
, puisque le salarié n'est pas malade la première semaine).
On a alors : ;
et :
.
Comme 
; 
et
du coup 
.
e. On admet dans cette question que la suite ; et
du coup .
est croissante. On considère l'algorithme suivant :
Remarquons déjà que la suite 
étant croissante et convergente elle est majorée par sa limite, c'est à dire
que pour tout entier on a : 
.
Du coup la distance entre 
et la limite 
est égale à 
.
La condition du Tant que revient à 
et la boucle s'exécute tant que la distance entre et 0,05 est strictement supérieure à 
(
étant saisi en entrée).
La valeur affichée en sortie est le rang du premier terme de la suite dont la distance à 0,05 est inférieure ou égale à .
On est sûr que la boucle Tant que s'arrête à un moment donné car la suite converge vers 0,05 : à partir d'un certain rang tous les termes
de la suite sont aussi proche de la limite que l'on veut (en particulier à moins de de distance).
3. Cette entreprise emploie 220 salariés.
Pour la suite on admet que la probabilité pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à étant croissante et convergente elle est majorée par sa limite, c'est à dire
que pour tout entier on a : .
Du coup la distance entre et la limite est égale à .
La condition du Tant que revient à et la boucle s'exécute tant que la distance entre et 0,05 est strictement supérieure à ( étant saisi en entrée).
La valeur affichée en sortie est le rang du premier terme de la suite dont la distance à 0,05 est inférieure ou égale à .
On est sûr que la boucle Tant que s'arrête à un moment donné car la suite converge vers 0,05 : à partir d'un certain rang tous les termes
de la suite sont aussi proche de la limite que l'on veut (en particulier à moins de de distance).
.
On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues.
On désigne par 
la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.
a. Justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Calculer l'espérance mathématique 
et l'écart type 
de la variable aléatoire .
La situation revient à répéter 220 fois de façon indépendante une expérience de Bernoulli dont la probabilité du succès (le salarié est malade) vaut 0,05.
Donc la variable aléatoire qui compte le nombre de salariés malades suit une loi binomiale 
(
et 
).
En utilisant les formules du cours on a :
b. On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire qui compte le nombre de salariés malades suit une loi binomiale ( et ).
En utilisant les formules du cours on a :
par la loi normale centrée réduite c'est-à-dire de paramètres 
et 
.
On note 
une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement 
pour quelques valeurs du nombre réel 
.
Calculer, au moyen de l'approximation proposée en question b., une valeur approchée à 
près
de la probabilité de l'événement : « le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15 ».
avec 
et 
.
Donc il faut calculer 
où suit la loi 
.
Par lecture dans le tableau on a :
et 
.
Donc 
