Corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths d'avril 2014 à Pondichéry
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Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième. 1. La durée de vie, exprimée en années, d'un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre , où est un réel strictement positif. On sait que . Déterminer la valeur exacte du réel .
On résout :
Dans la suite de l'exercice on prendra 0,081 pour valeur de . 2.a. Déterminer .
Pour tout réel :
Donc
b. Montrer que pour tout réels positifs et ,
.
c. Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu'il fonctionne encore 2 ans ?
D'après la propriété vue à la question b :
.
d. Calculer l'espérance de la variable aléatoire et donner une interprétation de ce résultat.
La durée de vie moyenne d'un moteur est d'environ 12,3 ans.
3. Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à .
L'entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1 %.
Afin de vérifier cette affirmation 800 moteurs sont prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux.
Le résultat de ce test remet-il en question l'annonce de l'entreprise A ? Justifier.
On pourra s'aider d'un intervalle de fluctuation.
Taille de l'échantillon :
Proportion de moteurs défectueux supposée :
On a : ; donc ; donc .
Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % :
soit
.
La proportion de moteurs défectueux observée est : .
Du coup , donc le résultat du test remet en question l'annonce de l'entreprise A.
