Bac de maths

Corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths d'avril 2014 à Pondichéry

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Partie A

est une fonction définie et dérivable sur . est la fonction dérivée de la fonction .
Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on nomme la courbe représentative de la fonction et la courbe représentative de la fonction .
Le point A de coordonnées appartient à la courbe .
Le point B de coordonnées appartient à la courbe .

 

 

1. Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative de la fonction . Sur l'une d'entre elles, la courbe de la fonction dérivée est tracée convenablement. Laquelle ? Expliquer le choix effectué.
Situation 1
Situation 2 ( est une droite)
Situation 3

 

 

Le signe de la fonction représentée par doit être compatible avec les variations de la fonction représentée par .
Situation 1 : Ok !
Situation 2 : presque bon, mais il y a un "petit décalage"
Situation 3 : ça va pas du tout !
Donc la bonne réponse est la situation 1.
2. Déterminer l'équation réduite de la droite tangente à la courbe en A.
A entraîne que
B entraîne que
Equation de : soit
3. On sait que pour tout réel , et sont deux nombres réels.
a. Déterminer la valeur de en utilisant les renseignements donnés par l'énoncé.
donc
b. Prouver que .
est dérivable sur et .
Or , donc
4. Etudier les variations de la fonction sur .
On a .
.
De même : et
Tableau de variations :
5. Déterminer la limite de la fonction en .
  • ; donc
Par somme : .

Partie B

Soit la fonction définie sur par .
1.a. Montrer que la fonction admet 0 comme minimum sur .
est dérivable sur et .
.
De même : et .
Tableau de variations :
.
Donc admet comme minimum sur .
b. En déduire la position de la courbe par rapport à la droite .
D'après a., pour tout : soit .
Donc est située au dessus de .
La figure ci-dessous représente le logo d'une entreprise.
Pour dessiner ce logo, son créateur s'est servi de la courbe et de la droite , comme l'indique la figure ci-dessous.
Afin d'estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l'aire de la partie colorée en gris.
Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où :
La partie du logo colorée en gris correspond à la surface située entre la droite , la courbe , la droite d'équation et la droite d'équation .
2. Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du logo colorée en gris (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à du résultat).
L'aire du domaine est donnée par :

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