Corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths d'avril 2014 à Pondichéry

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Partie A

est une fonction définie et dérivable sur . est la fonction dérivée de la fonction . Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on nomme la courbe représentative de la fonction et la courbe représentative de la fonction . Le point A de coordonnées appartient à la courbe . Le point B de coordonnées appartient à la courbe .

 

 

1. Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative de la fonction . Sur l'une d'entre elles, la courbe de la fonction dérivée est tracée convenablement. Laquelle ? Expliquer le choix effectué. Situation 1

Situation 2 ( est une droite)

Situation 3

 

 

2. Déterminer l'équation réduite de la droite tangente à la courbe en A. 3. On sait que pour tout réel , où et sont deux nombres réels. a. Déterminer la valeur de en utilisant les renseignements donnés par l'énoncé. b. Prouver que . 4. Etudier les variations de la fonction sur . 5. Déterminer la limite de la fonction en .

Partie B

Soit la fonction définie sur par . 1.a. Montrer que la fonction admet 0 comme minimum sur . b. En déduire la position de la courbe par rapport à la droite . La figure ci-dessous représente le logo d'une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s'est servi de la courbe et de la droite , comme l'indique la figure ci-dessous. Afin d'estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l'aire de la partie colorée en gris. Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où :

• D est le point de coordonnées ,
• E est le point de coordonnées ,
• F est le point d'abscisse 2 de la courbe ,
• G est le point d'abscisse de la courbe

La partie du logo colorée en gris correspond à la surface située entre la droite , la courbe , la droite d'équation et la droite d'équation . 2. Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du logo colorée en gris (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à du résultat).

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