Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac S de maths d'avril 2015 à Pondichéry
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PARTIE A
Soit la suite définie par son premier terme et, pour tout entier naturel , par la relation
( et réels non nuls tels que ).
On pose, pour tout entier naturel , .
1. Démontrer que, la suite est géométrique de raison .
Pour tout entier naturel , on a :
Donc la suite est bien une suite géométrique de raison .
2. En déduire que si appartient à l'intervalle , alors la suite a pour limite .
Puisque est une suite géométrique de raison et de premier terme , on a pour tout entier naturel :
et de la relation : , on tire : , soit :
.
Or si , alors et donc par somme : .
PARTIE B
En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants.
Dès qu'il rentre chez lui, Max taille sa plante.
1. Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?
hauteur après la taille de mars 2015 :
hauteur avant la taille de mars 2016 : .
2. Pour tout entier naturel , on note la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l'année .
a. Justifier que, pour tout entier naturel , .
hauteur avant la taille de l'année :
hauteur après la taille de l'année :
hauteur avant la taille un an après : année :
b. Conjecturer à l'aide de la calculatrice le sens de variation de la suite .
Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).
Cette suite semble croissante.
Propriété à montrer pour tout entier naturel :
« »
Initialisation au rang 0
Donc , ce qui montre que est vraie.
Hérédité
On suppose que est vraie à un rang . On veut montrer qu'alors est vraie.
Partons de l'hypothèse de récurrence :
C'est à dire que est vraie et la propriété est héréditaire.
Conclusion
La propriété est initialisée au rang 0, elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel .
La suite est bien croissante.
c. La suite est-elle convergente ? Justifier la réponse.
La suite est du type étudié dans la partie A, avec :
,
Comme non nul appartient à , la suite converge vers : .
