Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac de maths d'avril 2015 à Pondichéry
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Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
PARTIE A - Etude de la durée de vie d'un appareil électroménager
Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d'un type de lave-vaisselle par une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne et d'écart-type .
De plus, on a .
La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de est donnée ci-dessous.
1.a. En exploitant le graphique, déterminer .
On remarque que :
Donc on cherche la probabilité d'un intervalle centré sur la moyenne, du coup par symétrie :
.
b. Quelle valeur approchée entière de peut-on proposer ?
La probabilité de l'intervalle centré de la question précédente correspond à peu près à la probabilité de l'intervalle , donc on peut proposer la valeur 20 pour .
2. On note la variable aléatoire définie par .
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par ?
En considérant nous centrons et reduisons la variable aléatoire , donc suit la loi normale centrée réduite de moyenne 0 et d'écart-type 1.
b. Justifier que .
c. En déduire la valeur de , arrondie à .
En utilisant la calculette, on cherche , tel que .
On trouve .
Du coup :
3. Dans cette question, on considère que .
Les probabilités demandées seront arrondies à .
a. Calculer la probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre 2 et 5 ans.
2 ans c'est 24 mois,
5 ans c'est 60 mois.
Directement en utilisant la calculette on trouve environ 0,115
b. Calculer la probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à 10 ans.
10 ans c'est 120 mois.
En utilisant de nouveau la calculette on obtient : 0,037
PARTIE B - Etude de l'extension de garantie d'El'Ectro
Le lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années.
L'entreprise El'Ectro propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans supplémentaires.
Des études statistiques menées sur les clients qui prennent l'extension de garantie montrent que 11,5 % d'entre eux font jouer l'extension de garantie.
1. On choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l'extension de garantie (on peut assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients).
a. Quelle est la probabilité qu'exactement 3 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ?
Détailler la démarche en précisant la loi de probabilité utilisée. Arrondir à .
On répète 12 expériences de Bernoulli indépendantes dont la probabilité du succès (le client fait joueur la garantie) est 0,115.
La variable aléatoire qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres 12 et 0,115 et on a :
.
b. Quelle est la probabilité qu'au moins 6 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Arrondir à .
Il s'agit de calculer :
Comme la calculette permet de calculer , pour une loi binomiale, nous passons par l'événement contraire :
2. L'offre d'extension de garantie est la suivante : pour 65 euros supplémentaires, El'Ectro remboursera au client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit 399 euros, si une panne irréparable survient entre le début de la troisième année et la fin de la cinquième année. Le client ne peut pas faire jouer cette extension de garantie si la panne est réparable.
On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l'extension de garantie, et on note la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur ce client par l'entreprise El'Ectro, grâce à l'extension de garantie.
a. Justifier que prend les valeurs et puis donner la loi de probabilité de .
Deux cas de figure :
le client prend l'extension et ne la fait pas jouer : c'est 65 euros de gain pour l'entreprise avec une probabilité de .
le client prend l'extension et la fait jouer : l'entreprise rembourse 399 euros au client, donc elle perd euros, soit un gain algébrique de avec une probabilité de .
| Valeurs | 65 | -334 |
| Probabilités | 0,885 | 0,115 |
b. Cette offre d'extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour l'entreprise ? Justifier.
On calcule l'espérance de :
Donc l'extension de garantie est avantageuse pour l'entreprise, car en moyenne elle peut espérer gagner 19,115 euros par extension vendue.
