Corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths 2011 en Amérique du Nord
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Cet exercice a été modifié afin d'être conforme au nouveau programme en vigueur à partir de l'année scolaire 2012-2013.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct 
.
On considère les points A et B d'affixes respectives : 
et 
.
Partie A
On considère le point C d'affixe
.
On note 
et 
les affixes respectives des points D, G et H avec :
.
Démontrer que le quadrilatère CDGH est un rectangle.
Donc 
ce qui prouve que CDGH est un parallélogramme.
.
.
Du coup les diagonales du parallélogramme sont de même longueur, donc c'est un rectangle.
Partie B
On considère un point M, distinct de O et de A, d'affixe
.
On note 
et 
les affixes respectives des points N, P et Q avec :
1. Montrer que le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme.
.
.
Donc 
, ce qui montre que MNPQ est
un parallélogramme.
.
des points M tels que le quadrilatère MNPQ soit un rectangle.
MNPQ est rectangle signifie que 
est droit ce qui équivaut traduit avec les affixes à 
imaginaire pur.
Comme 
, ce dernier est imaginaire pur si et seulement si
est lui même imaginaire pur, soit 
, d'où 
.
Lorsque 
, décrit 
, l'ensemble des points M d'affixe 
, décrit l'axe des ordonnées privé de l'origine.
Donc l'ensemble 
est l'axe des ordonnées privé de O et de A (on n'oublie pas que M
A).
est droit ce qui équivaut traduit avec les affixes à imaginaire pur.
Comme , ce dernier est imaginaire pur si et seulement si
est lui même imaginaire pur, soit , d'où .
Lorsque , décrit , l'ensemble des points M d'affixe , décrit l'axe des ordonnées privé de l'origine.
Donc l'ensemble est l'axe des ordonnées privé de O et de A (on n'oublie pas que MA).
