Corrigé de l'exercice 2 du bac S de maths 2011 en Amérique du Nord
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Partie A
Une salle informatique d'un établissement scolaire est équipée de 25 ordinateurs dont 3 sont défectueux. Tous les ordinateurs ont la même probabilité d'être choisis. On choisit au hasard deux ordinateurs de cette salle. Quelle est la probabilité que ces deux ordinateurs soient défectueux ?
Le choix au hasard des deux ordinateurs équivaut au tirage successif sans remise de deux ordinateurs.
Soit A l'événement : « le premier ordinateur tiré est défectueux »
et B l'événement : « le deuxième ordinateur tiré est défectueux ».
On peut alors représenter la situation par l'arbre de probabilités :
L'événement considéré correspond à 
et
en utilisant la formule des probabilités composées (principe multiplicatif sur l'arbre) on a :
.
et
en utilisant la formule des probabilités composées (principe multiplicatif sur l'arbre) on a :
.
Partie B
La durée de vie d'un ordinateur (c'est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire
qui suit une loi exponentielle de paramètre 
avec 
.
Ainsi, pour tout réel 
positif, la probabilité qu'un ordinateur ait une durée de vie inférieure à années, notée 
, est donnée par : 
.
1. Déterminer sachant que 
.
Donc on doit résoudre : 
2. Dans cette question, on prendra
.
Sachant qu'un ordinateur n'a pas eu de panne au cours des 3 premières années, quelle est, à 
près, la probabilité qu'il ait une durée de vie supérieure à 5 ans ?
.
a. On considère un lot de 10 ordinateurs.
Quelle est la probabilité que, dans ce lot, l'un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? On donnera une valeur arrondie au millième de cette probabilité.
En utilisant l'événement contraire : « tous les ordinateurs ont une durée de vie inférieure à 5 ans » on a directement la probabilité demandée en utilisant une loi binomiale à savoir :
.
b. Quel nombre minimal d'ordinateurs doit-on choisir pour que la probabilité de l'évènement « l'un au moins d'entre eux a une durée de vie supérieure à 5 ans » soit supérieure à .
?
On doit résoudre : 
avec 
, donc il faut prendre au minimum 14 ordinateurs.
avec , donc il faut prendre au minimum 14 ordinateurs.
