Corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths 2011 dans les centres étrangers
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On considère une droite
munie d'un repère 
.
Soit 
la suite de points de la droite ainsi définie :
-
est le point O ;
-
est le point d'abscisse 
;
- pour tout entier naturel
, le point 
est le milieu du segment 
.
, les points 
et 
.
On prendra 10 cm comme unité graphique.
b. Pour tout entier naturel
, on note 
l'abscisse du point 
.
Calculer 
et 
.
c. Pour tout entier naturel
, justifier l'égalité : 
.
Cette formule est immédiate : c'est la formule de l'abscisse du milieu de deux points.
2. Démontrer par récurrence, que pour tout entier 
.
La propriété à montrer pour tout entier 
est :
«
».
Initialisation
, 
, et 
, soit 
.
Donc 
est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un rang 
, on a donc l'hypothèse de récurrence :
On montre qu'alors la propriété est vraie au rang 
.
D'après la définition de la suite :
On remplace 
en utilisant l'hypothèse de récurrence : 
.
.
Donc 
est vraie.
Ainsi la propriété est vraie au rang 
et elle est héréditaire donc selon le principe de récurrence la propriété
est vraie pour tout entier .
3. Soit est :
«
».
Initialisation
, , et , soit .
Donc est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un rang , on a donc l'hypothèse de récurrence :
On montre qu'alors la propriété est vraie au rang .
D'après la définition de la suite :
On remplace en utilisant l'hypothèse de récurrence : .
.
Donc est vraie.
Ainsi la propriété est vraie au rang et elle est héréditaire donc selon le principe de récurrence la propriété
est vraie pour tout entier .
la suite définie, pour tout entier naturel , par
est une suite géométrique de raison 
.
Pour tout entier naturel , on a :
Donc la suite 
est une suite géométrique de raison 
.
4. Déterminer la limite de la suite , on a :
Donc la suite est une suite géométrique de raison .
, puis celle de la suite 
.
La raison de la suite géométrique est comprise entre 
et , donc cette suite converge vers 0.
En utilisant les règles de calcul sur les limites on a :
.
est comprise entre et , donc cette suite converge vers 0.
En utilisant les règles de calcul sur les limites on a :
.
