Bac de maths

Corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths 2011 dans les centres étrangers

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On considère une droite munie d'un repère .
Soit la suite de points de la droite ainsi définie :
1.a. Placer sur un dessin la droite , les points et .
On prendra 10 cm comme unité graphique.

 

 

b. Pour tout entier naturel , on note l'abscisse du point .
Calculer et .

 

 

c. Pour tout entier naturel , justifier l'égalité : .
Cette formule est immédiate : c'est la formule de l'abscisse du milieu de deux points.
2. Démontrer par récurrence, que pour tout entier .
La propriété à montrer pour tout entier est : « ».
Initialisation
, , et , soit .
Donc est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un rang , on a donc l'hypothèse de récurrence :
On montre qu'alors la propriété est vraie au rang .
D'après la définition de la suite :
On remplace en utilisant l'hypothèse de récurrence : .
.
Donc est vraie.
Ainsi la propriété est vraie au rang et elle est héréditaire donc selon le principe de récurrence la propriété est vraie pour tout entier .
3. Soit la suite définie, pour tout entier naturel , par
Démontrer que est une suite géométrique de raison .
Pour tout entier naturel , on a :
Donc la suite est une suite géométrique de raison .
4. Déterminer la limite de la suite , puis celle de la suite .
La raison de la suite géométrique est comprise entre et , donc cette suite converge vers 0.
En utilisant les règles de calcul sur les limites on a : .

 

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