Corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths 2011 au Liban
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Dans l'espace muni d'un repère orthonormal
on donne les trois points :
On calcule, par exemple, les coordonnées des vecteurs 
et 
.
On remarque que les coordonnées des vecteurs ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires et les points A, B et C ne sont pas alignés.
et .
On remarque que les coordonnées des vecteurs ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires et les points A, B et C ne sont pas alignés.
b. Démontrer que le vecteur
est un vecteur normal au plan (ABC).
On calcule :
Donc le vecteur 
est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), ce qui justifie que est normal au plan.
2. Soit
Donc le vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), ce qui justifie que est normal au plan.
le plan dont une équation cartésienne est 
.
Démontrer que les plans (ABC) et sont perpendiculaires.
On lit directement sur l'équation du plan un vecteur normal : 
.
On calcule : 
.
Donc des vecteurs normaux des plans sont orthogonaux ce qui prouve que (ABC) et sont perpendiculaires.
.
On calcule : .
Donc des vecteurs normaux des plans sont orthogonaux ce qui prouve que (ABC) et sont perpendiculaires.
3.a. On appelle G le point de coordonnées
.
Dans le sujet original l'élève devait déterminer les coordonnées de G comme barycentre de points pondérés. Cette notion
n'est plus au programme à partir de la session 2013.
b. Démontrer que la droite (CG) est orthogonale au plan .
On calcule les coordonnées du vecteur : 
.
On remarque que 
, donc 
et 
sont colinéaires
ce qui prouve que (CG) est orthogonale au plan .
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CG).
.
On remarque que , donc et sont colinéaires
ce qui prouve que (CG) est orthogonale au plan .
Un vecteur directeur de (CG) est où encore en divisant par 2 : 
, de plus la droite
passe par C
, donc on une représentation paramétrique de cette droite est :
d. Déterminer les coordonnées du point H, intersection du plan où encore en divisant par 2 : , de plus la droite
passe par C, donc on une représentation paramétrique de cette droite est :
avec la droite (CG).
On doit résoudre le système :
Donc H
Donc H
La fin de l'exercice portait sur des questions qui sont hors programme à partir de l'année scolaire 2012-2013.
