Bac de maths

Correction de l'exercice 3 du bac S 2011 de maths en Nouvelle-Calédonie

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Soit la suite définie pour tout entier naturel par :

 

 

Partie A

Soit la fonction définie sur par
1. Résoudre dans l'équation .
On résout l'équation :

 

 

2. Étudier le sens de variation de la fonction sur l'intervalle . En déduire que si alors .
La fonction est définie et dérivable sur .
La fonction est de la forme avec , donc sa dérivée est de la forme , ce qui donne
Donc
Le signe de la dérivée est le même que celui de .
On remarque que
Donc la dérivée est positive sur et la fonction est croissante sur cet intervalle.
On a le tableau de variations :
Avec .
D'après le tableau de variations, pour tout , .

Partie B

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier .
La propriété à montrer pour tout entier est : « ».
Initialisation
Donc est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un rang , on a donc l'hypothèse de récurrence :
On montre qu'alors la propriété est vraie au rang .
D'après l'hypothèse de récurrence : et d'après la partie A,
.
Donc est vraie.
Ainsi la propriété est vraie au rang et elle est héréditaire donc selon le principe de récurrence la propriété est vraie pour tout entier .
2. Étudier le sens de variation de la suite .
En utilisant la relation de récurrence de la suite on a :
Comme , , donc et , donc la suite est décroissante.
3. Démontrer que la suite est convergente.
On admet que la limite de est solution de l'équation .
Déterminer .
La suite en question est décroissante et minorée par 0, donc elle est convergente.
La limite de la suite est solution de l'équation et comme cette équation n'a qu'une solution qui vaut 0 (voir partie A), on en conclut que .

 

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