Corrigé de l'exercice 4 du bac de maths S 2011 en Nouvelle-Calédonie
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L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct
.
On considère les points A
, B
et C
.
1.a. Calculer le produit scalaire
puis les longueurs AB et AC.
Coordonnées du vecteur 
:
Coordonnées du vecteur 
:
et :
Norme du vecteur :
Norme du vecteur :
Donc AB=
et AC=
.
:
Coordonnées du vecteur :
Produit scalaire de
et :
Norme du vecteur :
Norme du vecteur :
Donc AB= et AC=.
b. En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l'angle
.
Le produit scalaire peut également s'écrire :
.
Donc 
avec : 
et 
°.
c. En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.
.
Donc
avec : et °.
L'angle n'est ni nul, ni plat donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : n'est ni nul, ni plat donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
.
Les points 
, 
et 
ne sont pas alignés, donc il définissent un plan.
Pour montrer que ce plan admet pour équation
il suffit de vérifier que les coordonnées des 3 points vérifient l'équation en question :
Point : 
Point : 
Point : 
Donc une équation du plan considéré est bien .
3. Soient , et ne sont pas alignés, donc il définissent un plan.
Pour montrer que ce plan admet pour équation
il suffit de vérifier que les coordonnées des 3 points vérifient l'équation en question :
Point :
Point :
Point :
Donc une équation du plan considéré est bien .
, et 
les plans d'équations respectives 
et
.
Montrer que les plans et sont sécants selon une droite 
dont un système d'équations
paramétriques est 
On résout le système :
Donc les plans 
et 
sont sécants selon la droite , dont on a obtenu une
représentation paramétrique ci-dessus.
4. Démontrer que la droite
Donc les plans et sont sécants selon la droite , dont on a obtenu une
représentation paramétrique ci-dessus.
et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
On résout le système :
Donc la droite et le plan (ABC), se coupent au point de coordonnées 
.
Donc la droite et le plan (ABC), se coupent au point de coordonnées .
