Tu tombes sur un énoncé de probabilités avec des événements qui s’enchaînent. Des tirages successifs, des tests par étapes, des conditions qui s’empilent. Tu ne sais pas par quel bout prendre le problème ? L’arbre de probabilité est exactement l’outil qui va te sauver. Et une fois que tu as compris sa logique, ce type d’exercice devient presque mécanique.
L’arbre de probabilité, c’est quoi exactement ? Définition et vocabulaire à connaître
Un arbre de probabilité, c’est une représentation graphique d’une expérience aléatoire qui se déroule en plusieurs étapes. Au lieu de garder toutes les issues possibles en tête, tu les poses visuellement, branche après branche, en suivant la chronologie de l’expérience. L’arbre t’oblige à structurer ta pensée : d’abord ceci se produit, puis cela peut arriver, avec telles probabilités. Le support visuel fait toute la différence pour ne rien oublier.
Le vocabulaire est simple, mais il faut le connaître pour suivre les énoncés et les corrigés sans décrocher.
- Nœud : c’est un point de départ ou d’embranchement dans l’arbre. Le premier nœud, tout en haut ou à l’extrême gauche, c’est le début de l’expérience (la racine). Ensuite, chaque nouvelle étape crée de nouveaux nœuds, d’où partent les possibilités suivantes.
- Branche : c’est le trait qui relie deux nœuds. Elle représente une issue possible à une étape donnée. Et c’est sur cette branche qu’on inscrit la probabilité correspondante, ce qui fait de l’arbre un arbre pondéré.
- Chemin : c’est une succession de branches qui part de la racine et va jusqu’à une extrémité de l’arbre. Chaque chemin complet correspond à un résultat final de l’expérience, avec toutes les étapes intermédiaires. C’est en lisant les chemins que tu calcules les probabilités finales.
- Niveau : il désigne l’ensemble des branches qui se situent à une même étape de l’expérience. Le premier niveau correspond à la première épreuve, le deuxième à la deuxième, et ainsi de suite.
Visualise un arbre comme une lecture chronologique de gauche à droite. Tu pars de la situation initiale, puis chaque embranchement correspond à un « et ensuite, que peut-il se passer ? ». Chaque branche reçoit une probabilité.
Avant de construire, encore une chose importante : il existe deux types d’arbres, et les confondre est une erreur très fréquente dans les copies.
Arbre des possibles ou arbre pondéré ? Le tableau qui tranche une bonne fois pour toutes
Confondre l’arbre des possibles et l’arbre pondéré, c’est l’erreur numéro un. Elle mène à des calculs complètement faux, alors que l’énoncé te donnait pourtant les bonnes informations. La différence est simple, mais il faut l’avoir clairement en tête avant de prendre ton stylo.
Un arbre des possibles sert à représenter toutes les issues d’une expérience, sans se préoccuper de leurs probabilités. On l’utilise quand toutes les issues ont la même chance de se produire, ou quand on veut simplement compter des cas. Un arbre pondéré, lui, indique sur chaque branche la probabilité de l’issue correspondante. Ces probabilités peuvent être différentes les unes des autres.
Voici un tableau comparatif qui te permettra de ne plus jamais hésiter.
| Critère | Arbre des possibles | Arbre pondéré |
|---|---|---|
| Situation typique | Toutes les issues sont équiprobables | Les probabilités ne sont pas uniformes, ou des conditions s’appliquent |
| Ce qu’on écrit sur les branches | Les issues possibles ou le nombre d’issues | Des probabilités (nombres entre 0 et 1) |
| Objectif | Compter des cas, dénombrer | Calculer des probabilités |
| Exemple concret | Lancer un dé équilibré, tirage avec remise | Test médical, sondage, tirage sans remise avec probabilités conditionnelles |
La règle de décision tient en une phrase. Si l’énoncé te donne des probabilités ou des pourcentages (par exemple : « 30 % des élèves sont en première », « la probabilité de succès est 0,7 »), tu construis un arbre pondéré, directement. Si l’énoncé ne te donne que des effectifs (boules de couleurs dans une urne, cartes dans un jeu) sans aucune probabilité explicite, commence par un arbre des possibles. Tu pourras toujours le pondérer ensuite, quand tu auras identifié les probabilités à partir des données.
Ce qu’il faut maîtriser avant de commencer (prérequis express)
Avant de te lancer dans la construction d’un arbre de probabilité, vérifie que tu as ces quatre notions en main. Elles sont légères, mais sans elles, tout l’édifice vacille.
- Addition des probabilités issues d’un même nœud : la somme des probabilités sur toutes les branches qui partent d’un même nœud est égale à 1. Si ce n’est pas le cas, tu as oublié une branche ou commis une erreur de calcul.
- Multiplication pour des événements successifs : quand tu lis un chemin complet, les probabilités se multiplient. Ce principe vient de la probabilité de l’intersection de deux événements.
- Notion de probabilité conditionnelle : il faut comprendre l’idée de « sachant que ». La probabilité d’un événement peut changer selon ce qui s’est passé avant. Par exemple, la probabilité de tirer une boule rouge au second tirage n’est pas la même selon ce que tu as tiré au premier.
- Savoir lire un énoncé : repère les étapes de l’expérience et les fameux « si ». « Si le test est positif, alors… » ; « on tire une seconde boule, sachant que la première est… ». Ces indices te donnent la structure de l’arbre avant même de le tracer.
Pas de panique si la probabilité conditionnelle te semble floue au départ. L’arbre va justement t’aider à la visualiser et à l’appliquer sans t’emmêler. Chaque branche après le premier niveau est une probabilité conditionnelle, et l’arbre l’inscrit directement, ce qui te dispense de manipuler des formules abstraites dans le vide.
Construire un arbre de probabilité en 4 étapes (la méthode qui marche à tous les coups)
Peu importe l’exercice, la construction suit toujours la même logique. Voici les quatre étapes à appliquer systématiquement. Une fois que tu les auras répétées sur deux ou trois exercices, elles deviendront un automatisme.
Étape 1 – Identifier l’ordre des épreuves
Relis l’énoncé et repère la chronologie. Quelle est la première chose qui se produit ? La deuxième ? La troisième ? Chaque épreuve correspond à un niveau de l’arbre.
Exemple simple : une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire une boule, on note sa couleur, on ne la remet pas, puis on tire une seconde boule. Les épreuves sont : premier tirage, puis deuxième tirage. Ton arbre aura deux niveaux.
Étape 2 – Placer les branches du premier niveau
Au premier nœud (la racine), trace une branche pour chaque issue possible de la première épreuve. Écris l’issue au bout de la branche, et sa probabilité au-dessus du trait.
Dans notre exemple, il y a deux issues possibles au premier tirage. Tirer une rouge : probabilité de 3/5. Tirer une bleue : probabilité de 2/5. Vérifie : 3/5 + 2/5 = 1. C’est bon, tu peux passer à la suite.
Étape 3 – Déterminer les probabilités conditionnelles des niveaux suivants
C’est ici que la lecture fine de l’énoncé est cruciale. Pour chaque branche du niveau suivant, la probabilité dépend de ce qui s’est passé avant. Pose-toi la question : « Sachant qu’on a obtenu telle issue au tirage précédent, quelle est maintenant la probabilité de chaque nouvelle issue ? »
Poursuivons l’exemple. Premier cas : on a tiré une rouge au premier tirage. Il reste donc 2 rouges et 2 bleues, soit 4 boules au total. La probabilité de tirer une rouge au deuxième tirage sachant qu’on a eu rouge au premier est de 2/4. Celle de tirer une bleue est aussi de 2/4.
Deuxième cas : on a tiré une bleue au premier tirage. Il reste alors 3 rouges et 1 bleue, sur 4 boules. La probabilité de rouge au deuxième tirage est de 3/4, celle de bleue est de 1/4.
Écris ces probabilités sur les branches correspondantes. Prends toujours le temps de vérifier que la somme des branches issues de chaque nœud fait 1. Pour le nœud « rouge d’abord » : 2/4 + 2/4 = 1. Pour « bleue d’abord » : 3/4 + 1/4 = 1. L’arbre est parfaitement cohérent.
Étape 4 – Relire avant de calculer quoi que ce soit
Avant de te précipiter sur les multiplications, vérifie trois choses : chaque branche a bien une probabilité, la somme fait 1 à chaque nœud, et le nombre de niveaux correspond au nombre d’épreuves de l’expérience.
Cette relecture rapide t’évite de t’engager dans des calculs sur une base bancale. C’est un investissement de trente secondes qui rapporte gros en contrôle, car une erreur à ce stade fausse l’intégralité de l’exercice.
Lire un arbre et calculer les probabilités : les réflexes à adopter
L’arbre est construit. Maintenant, comment en extraire les probabilités ? C’est là que la plupart des erreurs arrivent, souvent par précipitation ou par confusion entre les opérations mathématiques.
La règle du produit pour un chemin
Un chemin complet va de la racine jusqu’à une extrémité. Il représente un scénario précis : tel événement au premier niveau, puis tel événement au deuxième, et ainsi de suite. La probabilité de ce scénario est égale au produit des probabilités inscrites sur toutes les branches qui composent le chemin.
Reprenons l’exemple des boules. Quelle est la probabilité de tirer une rouge, puis une bleue ? Tu empruntes le chemin : première branche « rouge » (3/5), puis deuxième branche « bleue sachant rouge » (2/4). Le produit est simple : 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10. La probabilité de ce scénario est 3/10, ou 0,3.
Détaille toujours le produit dans ta rédaction. Le correcteur voit ainsi que tu as compris la logique de lecture de l’arbre, et cela te protège des erreurs d’étourderie.
La règle de la somme pour un événement composite
Un même événement final peut être atteint par plusieurs chemins différents. Dans ce cas, sa probabilité est la somme des probabilités de tous les chemins qui y mènent.
Quelle est la probabilité que la seconde boule tirée soit rouge ? Il y a deux chemins possibles : Rouge puis Rouge, et Bleue puis Rouge. Tu calcules la probabilité de chaque chemin par produit, puis tu les additionnes.
- Chemin Rouge-Rouge : 3/5 × 2/4 = 6/20.
- Chemin Bleu-Rouge : 2/5 × 3/4 = 6/20.
- Total : 6/20 + 6/20 = 12/20 = 3/5.
N’écris jamais un seul calcul sans préciser quel chemin tu suis. Une phrase simple suffit : « L’événement se réalise par les chemins suivants… »
Probabilité totale : quand additionner les chemins qui t’intéressent
Très souvent, l’énoncé te demande la probabilité d’un événement qui ne dépend pas du premier résultat, du moins pas de manière conditionnelle explicite. Par exemple : « Quelle est la probabilité que la seconde boule tirée soit rouge ? » On ne te dit rien sur la première. La seconde boule peut être rouge après une première rouge, ou rouge après une première bleue.
Dans ce cas, tu dois additionner les chemins qui mènent à cet événement. C’est ce qu’on appelle la probabilité totale.
La formule de la probabilité totale s’écrit ainsi :
P(B) = P(A₁ ∩ B) + P(A₂ ∩ B) + …
P(B) = P(A₁) × P(B|A₁) + P(A₂) × P(B|A₂) + …
Autrement dit, on partitionne l’événement B selon toutes les façons dont il peut se produire, en fonction des issues de la première épreuve. L’arbre rend cette partition visuellement évidente : il suffit de repérer toutes les extrémités qui correspondent à B et d’additionner les probabilités des chemins qui y conduisent.
Ne confonds surtout pas probabilité totale (somme de chemins) et probabilité d’un chemin seul (produit des branches). C’est l’erreur de calcul la plus répandue dans les copies. Quand l’événement peut arriver de plusieurs façons, il faut toutes les compter. N’en oublie aucune, et ne t’arrête pas au premier chemin que tu trouves. Parcours méthodiquement l’arbre du haut vers le bas en cochant mentalement les chemins utiles.
Les 4 erreurs qui font perdre des points aux contrôles (et comment les éviter)
Les correcteurs voient toujours les mêmes erreurs, année après année. En les connaissant à l’avance, tu ne te feras pas piéger. Voici les quatre principales, avec la parade pour chacune.
Erreur n° 1 — Mélanger arbre des possibles et arbre pondéré
C’est le grand classique. L’élève lit « 3 boules rouges et 2 boules bleues » et écrit directement sur les branches « rouge » et « bleue » en oubliant de pondérer, ou au contraire il invente des probabilités sur un arbre des possibles. Résultat : les calculs sont inexploitables.
Comment l’éviter : ne commence jamais à tracer avant d’avoir identifié si les issues sont équiprobables ou non. Si tu as un doute, construis d’abord un arbre des possibles simple, puis transforme-le en arbre pondéré en calculant les probabilités à partir des données de l’énoncé.
Erreur n° 2 — Oublier que les probabilités conditionnelles changent au fil des niveaux
Dans un tirage sans remise, l’élève écrit la même probabilité aux deux tirages, comme si l’urne ne changeait pas. La probabilité de tirer une rouge au deuxième tirage dépend de ce qu’on a tiré en premier. Ignorer cela, c’est faux.
Comment l’éviter : impose-toi de réécrire la composition de l’urne (ou la situation) après chaque étape. Que reste-t-il ? Combien de boules au total ? Combien de la couleur cherchée ? Ce petit calcul explicite avant de remplir chaque branche te sauvera.
Erreur n° 3 — Confondre addition et multiplication
L’élève additionne les probabilités le long d’un chemin, ou multiplie deux probabilités issues de nœuds différents comme s’il s’agissait d’un même chemin. C’est la confusion ultime entre « ET » (multiplication, le long d’un chemin) et « OU » (addition, entre plusieurs chemins).
Erreur n° 4 — Somme des branches d’un même nœud différente de 1
Une branche est oubliée, ou une probabilité est mal évaluée, et la somme ne fait plus 1. Toute la suite des calculs est alors faussée, parfois sans que l’élève s’en rende compte.
Comment l’éviter : après avoir rempli un nœud, fais le total des probabilités immédiatement. Si la somme ne vaut pas 1, cherche l’erreur tout de suite. Ne termine jamais l’arbre complet sans avoir vérifié chaque nœud un par un. C’est fastidieux, mais c’est le meilleur rempart contre les erreurs en cascade.
Application corrigée : le sujet du Bac Métropole 2013 décrypté pas à pas
On passe à la pratique avec un vrai sujet du Bac. L’exercice de Métropole 2013 sur les probabilités est un modèle du genre : il mobilise l’arbre pondéré, les probabilités conditionnelles et la probabilité totale dans un contexte concret. Voici comment l’attaquer et le rédiger pour obtenir tous les points.
L’énoncé en résumé
Voici l’essentiel de l’exercice, partie probabilités. Une entreprise fabrique des pièces. 60 % des pièces proviennent de la machine A, et 40 % de la machine B. La machine A produit 5 % de pièces défectueuses. La machine B en produit 8 %. On prélève une pièce au hasard dans la production totale.
L’objectif : déterminer la probabilité que la pièce soit défectueuse, puis que la pièce provienne de A sachant qu’elle est défectueuse.
Étape 1 — Identifier les épreuves et poser les notations
Première épreuve : choix de la machine d’origine. La pièce provient de A ou de B. Deuxième épreuve : contrôle de la qualité. La pièce est défectueuse ou non.
Définissons les événements sans attendre :
- A : « la pièce provient de la machine A »
- B : « la pièce provient de la machine B »
- D : « la pièce est défectueuse »
Les données de l’énoncé traduites en probabilités :
- P(A) = 0,60 et P(B) = 0,40.
- Probabilité de D sachant A = 0,05 (5 % de défaut chez A).
- Probabilité de D sachant B = 0,08 (8 % de défaut chez B).
Étape 2 — Construire l’arbre pondéré
Premier niveau : deux branches. De la racine partent A avec probabilité 0,60 et B avec probabilité 0,40. Somme : 0,60 + 0,40 = 1. Correct.
Deuxième niveau : de chaque nœud A et B, on détermine si la pièce est défectueuse ou non.
- Depuis A : branche D avec probabilité 0,05 ; branche non-D avec probabilité 0,95. Somme : 0,05 + 0,95 = 1.
- Depuis B : branche D avec probabilité 0,08 ; branche non-D avec probabilité 0,92. Somme : 0,08 + 0,92 = 1.
L’arbre a bien deux niveaux, quatre chemins complets. Chaque nœud est vérifié.
Étape 3 — Probabilité totale de D
L’énoncé demande P(D), la probabilité qu’une pièce prélevée au hasard soit défectueuse, toutes machines confondues.
Deux chemins mènent à D : le chemin A-D et le chemin B-D. Calculons séparément.
- Probabilité du chemin A-D : P(A ∩ D) = P(A) × P(D sachant A) = 0,60 × 0,05 = 0,03.
- Probabilité du chemin B-D : P(B ∩ D) = P(B) × P(D sachant B) = 0,40 × 0,08 = 0,032.
D’où P(D) = P(A ∩ D) + P(B ∩ D) = 0,03 + 0,032 = 0,062.
La probabilité qu’une pièce soit défectueuse est 0,062, soit 6,2 %. Ce résultat n’est ni la probabilité de défaut de A ni celle de B, mais une moyenne pondérée par les parts de production de chaque machine. Si tu obtiens autre chose, vérifie tes multiplications.
Étape 4 — Probabilité conditionnelle inversée
L’énoncé demande maintenant la probabilité que la pièce provienne de A sachant qu’elle est défectueuse. C’est le renversement typique d’un arbre pondéré.
La formule de la probabilité conditionnelle donne :
P(A sachant D) = P(A ∩ D) / P(D).
On connaît P(A ∩ D) = 0,03 (calculé au chemin A-D). On connaît P(D) = 0,062 (probabilité totale).
P(A sachant D) = 0,03 / 0,062 ≈ 0,4839.
La probabilité cherchée est environ 0,484, soit 48,4 %.
Le résultat a du sens : bien que A produise un taux de défaut plus faible (5 % contre 8 %), sa part dans la production est majoritaire (60 %). Une pièce défectueuse a donc presque une chance sur deux de venir de A. L’arbre visuel et la probabilité totale rendent ce calcul limpide.
Étape 5 — Rédiger proprement pour le correcteur
Voici ce qui fait la différence entre une copie moyenne et une excellente copie :
- Annonce tes notations en début d’exercice.
- Dessine l’arbre (même rapidement) avec les probabilités sur les branches.
- Écris la formule de probabilité totale en toutes lettres avant d’aligner les chiffres.
- Pour la probabilité conditionnelle finale, rappelle la définition théorique, puis substitue avec les valeurs.
- Donne le résultat exact puis une valeur approchée si demandé.
L’erreur classique sur ce sujet consiste à oublier le chemin B-D dans le calcul de P(D), et à trouver 0,03 au lieu de 0,062. Toute la suite est faussée. En appliquant les quatre étapes de construction et les règles de lecture, tu passes à côté du piège sans même le voir.
Foire aux questions : tout ce qui te bloque encore
Quelle est la différence entre une branche et un chemin ?
Une branche relie deux nœuds consécutifs et correspond à une issue à une étape donnée. Un chemin est une succession de branches de la racine à une extrémité et représente un résultat complet de l’expérience avec toutes ses étapes. Les probabilités des branches se multiplient le long d’un chemin.
Quand utiliser un arbre des possibles plutôt qu’un arbre pondéré ?
Utilise un arbre des possibles quand toutes les issues ont la même probabilité et que l’énoncé ne donne que des effectifs ou un dénombrement. Passe à l’arbre pondéré dès que l’énoncé fournit des probabilités, des pourcentages ou des fréquences, ou quand une probabilité conditionnelle entre en jeu.
Comment vérifier que mon arbre est bien construit ?
Contrôle que la somme des probabilités des branches issues de chaque nœud vaut exactement 1. Vérifie aussi que le nombre de niveaux correspond au nombre d’épreuves décrites dans l’énoncé. Une branche sans probabilité ou un nœud incomplet signale une erreur.
Pourquoi la somme des probabilités des branches d’un même nœud doit-elle faire 1 ?
Parce que ces branches représentent toutes les issues possibles à cette étape, sachant le résultat des étapes précédentes. Un événement étant certain, la somme de ses issues possibles ne peut être que 1. Si la somme est différente, une issue a été oubliée ou une probabilité est incorrecte.
Quand dois-je multiplier les probabilités dans un arbre ?
Multiplie les probabilités quand tu lis un chemin complet, de la racine à l’extrémité. Tu cherches la probabilité d’une succession d’événements qui se réalisent tous ensemble. La multiplication traduit l’intersection : premier événement ET deuxième événement ET ainsi de suite.
Quand dois-je additionner les probabilités des chemins ?
Additionne les probabilités de plusieurs chemins quand un même événement final peut se produire par des parcours différents. Chaque chemin est une façon distincte d’arriver au résultat. La somme traduit la réunion de ces possibilités : tel chemin OU tel autre chemin.
Comment savoir s’il faut utiliser la probabilité totale dans un exercice ?
Utilise la probabilité totale dès que l’événement cherché peut se réaliser de plusieurs façons selon les issues d’une première épreuve. L’indice est une question du type « quelle est la probabilité que… » sans condition sur ce qui s’est passé avant, alors que l’expérience comporte plusieurs étapes.
Pourquoi la probabilité d’un chemin ne peut-elle jamais dépasser 1 ?
Chaque probabilité sur une branche est comprise entre 0 et 1. Le produit de plusieurs nombres compris entre 0 et 1 donne un résultat encore plus petit ou égal. Un chemin ne peut donc jamais dépasser 1. Si cela arrive, cherche une erreur dans la multiplication ou dans les probabilités des branches.
