Vous cherchez un exercice type bac fonctions complet pour vous entraîner efficacement en Terminale spécialité mathématiques ? Voici un énoncé suivi d’une correction détaillée, qui couvre l’étude de fonction, les limites, la dérivée et une intégrale de logarithme.
Avant de commencer cet exercice type bac
Voici un exercice complet d’étude de fonction, posé dans l’esprit du bac. Il mobilise l’essentiel de ce que tu dois savoir faire en analyse : identifier un domaine de définition, calculer des limites, repérer une asymptote oblique, dériver, construire un tableau de variations, et finir par un calcul d’intégrale.
L’objectif n’est pas d’aller vite, mais de comprendre chaque étape avant même de regarder le corrigé.
Fiche d’identité de l’exercice
- Niveau : Terminale spécialité mathématiques
- Durée indicative : 20 à 25 minutes
- Difficulté : intermédiaire
- Notions travaillées : domaine de définition, limites, asymptote oblique, dérivée, signe de la dérivée, variations, logarithme népérien, intégrale
Prérequis
- Savoir dériver une fonction rationnelle
- Calculer des limites (y compris avec une asymptote verticale)
- Lire et interpréter un tableau de signes
Aucun matériel particulier n’est indispensable. Une feuille, un stylo, et une calculatrice pour vérifier tes résultats numériques si tu le souhaites.
Énoncé de l’exercice
À faire avant d’afficher la correction
Soit \( f \) la fonction définie sur son domaine par :
\[ f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x – 1} \]
On note \( \mathcal{C}_f \) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
- Déterminer le domaine de définition de \( f \).
- Vérifier que, pour tout \( x \) du domaine, \( f(x) = x + 2 + \dfrac{3}{x – 1} \).
- Calculer les limites de \( f \) aux bornes de son domaine de définition. Interpréter graphiquement les résultats obtenus en \( 1 \).
- Démontrer que la droite \( \Delta \) d’équation \( y = x + 2 \) est asymptote oblique à \( \mathcal{C}_f \) en \( -\infty \) et en \( +\infty \). Étudier la position relative de \( \mathcal{C}_f \) par rapport à \( \Delta \).
- Calculer \( f'(x) \), étudier le signe de \( f'(x) \), puis dresser le tableau de variations complet de \( f \).
- Calculer l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par \( \mathcal{C}_f \), la droite \( \Delta \) et les droites d’équation \( x = 2 \) et \( x = e + 1 \).
Compétences évaluées : traduire analytiquement une asymptote, relier signe de la dérivée et variations, calculer une intégrale avec la fonction logarithme népérien.
Prends le temps de chercher chaque question avant de consulter la correction ci-dessous.
Corrigé détaillé : méthode étape par étape
Afficher le corrigé complet
Étape 1 — Déterminer le domaine et calculer les limites
La fonction est donnée sous forme de quotient. Le dénominateur s’annule en \( x = 1 \), valeur pour laquelle \( f \) n’est pas définie. On a donc :
\[ \mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} \]
On effectue la division polynomiale de \( x^2 + x + 1 \) par \( x – 1 \) (ou on vérifie le résultat proposé) :
\[ f(x) = x + 2 + \frac{3}{x – 1} \]
Cette écriture est plus pratique pour les limites. On étudie les quatre bornes.
- En \( -\infty \) : \( x + 2 \to -\infty \) et \( \frac{3}{x-1} \to 0 \), donc \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \).
- En \( +\infty \) : \( x + 2 \to +\infty \) et \( \frac{3}{x-1} \to 0 \), donc \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \).
- En \( 1^- \) : \( x – 1 \to 0^- \), donc \( \frac{3}{x-1} \to -\infty \) et \( f(x) \to -\infty \).
- En \( 1^+ \) : \( x – 1 \to 0^+ \), donc \( \frac{3}{x-1} \to +\infty \) et \( f(x) \to +\infty \).
Les limites à gauche et à droite de 1 sont différentes : la droite d’équation \( x = 1 \) est donc une asymptote verticale à \( \mathcal{C}_f \).
Étape 2 — Identifier l’asymptote oblique et situer la courbe
Pour étudier le comportement asymptotique, on calcule la différence entre \( f(x) \) et l’équation de la droite candidate :
\[ f(x) – (x + 2) = \frac{3}{x – 1} \]
Lorsque \( x \to -\infty \) ou \( x \to +\infty \), cette différence tend vers \( 0 \). On en déduit que la droite \( \Delta \) d’équation \( y = x + 2 \) est asymptote oblique à \( \mathcal{C}_f \) aux deux infinis.
On étudie ensuite la position relative en cherchant le signe de \( \frac{3}{x-1} \).
- Si \( x < 1 \), alors \( x - 1 < 0 \) et \( \frac{3}{x-1} < 0 \) : la courbe est en dessous de \( \Delta \).
- Si \( x > 1 \), alors \( x – 1 > 0 \) et \( \frac{3}{x-1} > 0 \) : la courbe est au-dessus de \( \Delta \).
Étape 3 — Calculer la dérivée et étudier son signe
On dérive l’écriture simplifiée :
\[ f(x) = x + 2 + \frac{3}{x – 1} \] \[ f'(x) = 1 – \frac{3}{(x – 1)^2} \]
On réduit au même dénominateur :
\[ f'(x) = \frac{(x – 1)^2 – 3}{(x – 1)^2} \]
Le numérateur se factorise comme une différence de deux carrés :
\[ (x – 1)^2 – 3 = (x – 1 – \sqrt{3})(x – 1 + \sqrt{3}) \]
Les valeurs qui annulent le numérateur sont \( x = 1 – \sqrt{3} \) et \( x = 1 + \sqrt{3} \). Le dénominateur \( (x-1)^2 \) est strictement positif sur \( \mathcal{D}_f \), donc le signe de \( f'(x) \) est celui du numérateur.
On obtient le signe suivant :
- \( f'(x) > 0 \) sur \( ]-\infty, 1-\sqrt{3}[ \) et sur \( ]1+\sqrt{3}, +\infty[ \)
- \( f'(x) < 0 \) sur \( ]1-\sqrt{3}, 1[ \) et sur \( ]1, 1+\sqrt{3}[ \)
- \( f'(x) = 0 \) en \( 1-\sqrt{3} \) et \( 1+\sqrt{3} \)
- \( f'(x) \) n’est pas définie en \( 1 \) (valeur hors du domaine)
Étape 4 — Construire et interpréter le tableau de variations
On calcule les images des valeurs critiques :
\[ f(1-\sqrt{3}) = (1-\sqrt{3}) + 2 + \frac{3}{-\sqrt{3}} = 3 – \sqrt{3} – \sqrt{3} = 3 – 2\sqrt{3} \] \[ f(1+\sqrt{3}) = (1+\sqrt{3}) + 2 + \frac{3}{\sqrt{3}} = 3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3} \]
Voici le tableau de variations complet :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1-\sqrt{3}\) | \(1\) | \(1+\sqrt{3}\) | \(+\infty\) | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | || | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(3-2\sqrt{3}\) | \(\searrow\) | || | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(3+2\sqrt{3}\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
Sur la branche gauche (\( x < 1 \)), \( f \) est croissante jusqu’en \( 1-\sqrt{3} \) puis décroissante en tendant vers \( -\infty \) à l’approche de l’asymptote verticale. Le point d’abscisse \( 1-\sqrt{3} \) est un maximum local (valeur \( 3-2\sqrt{3} \)).
Sur la branche droite (\( x > 1 \)), \( f \) est décroissante depuis \( +\infty \) jusqu’en \( 1+\sqrt{3} \), puis croissante vers \( +\infty \). Le point d’abscisse \( 1+\sqrt{3} \) est un minimum local (valeur \( 3+2\sqrt{3} \)).
Étape 5 — Calculer l’aire avec une intégrale
Sur l’intervalle \( [2, e+1] \), on a \( x > 1 \), donc la courbe est située au-dessus de son asymptote \( \Delta \). L’aire recherchée s’écrit :
\[ \mathcal{A} = \int_{2}^{e+1} \big[ f(x) – (x+2) \big] \,dx = \int_{2}^{e+1} \frac{3}{x-1} \,dx \]
Une primitive de \( \frac{1}{x-1} \) est \( \ln|x-1| \). Sur \( [2, e+1] \), \( x-1 > 0 \), on peut donc retirer la valeur absolue :
\[ \mathcal{A} = \Big[ 3\ln(x-1) \Big]_{2}^{e+1} = 3\ln(e) – 3\ln(1) = 3 \times 1 – 3 \times 0 = 3 \]
![Graphique mathématique montrant une courbe continue, une asymptote oblique en pointillés et la surface entre les deux hachurée en bleu sur l’intervalle [a, b], les bornes d’intégration a et b étant visibles.](https://bac-de-maths.fr/wp-content/uploads/2026/08/aire-integrale-courbe-asymptote.jpg)
L’aire vaut 3 unités d’aire. La valeur absolue dans la primitive générale de \( \frac{1}{x-1} \) permet de traiter les intervalles où \( x-1 \) serait négatif, mais elle devient inutile ici car l’intervalle est situé entièrement à droite de l’asymptote verticale.
Tu veux t’exercer sur d’autres exercices type bac corrigés ? Cette page propose des sujets méthodiques et des exemples variés.
Erreurs à éviter et variantes pour s’entraîner
Un exercice type bac fonctions comme celui-ci recèle des pièges qui reviennent chaque année. Autant les connaître avant le jour de l’épreuve.
Quatre pièges classiques — et comment les éviter
- Oublier \( x = 1 \) dans le domaine de définition. Le réflexe à prendre : repérer la valeur interdite avant tout calcul, et la faire apparaître dans le tableau de variations par une double barre.
- Confondre limite et valeur de la fonction. En \( 1 \), \( f \) n’est pas définie. On parle de limite quand \( x \) se rapproche de 1, pas de \( f(1) \).
- Étudier le signe de la dérivée en oubliant de mentionner le dénominateur. Même si \( (x-1)^2 \) est toujours positif, il faut le dire et le justifier. Sinon, le correcteur peut considérer le raisonnement incomplet.
- Annoncer une asymptote sans calculer la différence \( f(x) – (ax+b) \). La phrase « \( \frac{3}{x-1} \) tend vers 0 » est indispensable. Sans elle, la conclusion ne vaut rien.
Trois variantes pour t’entraîner
- Remplace la fonction rationnelle par une fonction exponentielle du type \( g(x) = e^x – x \) et demande-toi si une asymptote oblique existe.
- Étudie une fonction avec logarithme népérien, par exemple \( h(x) = \ln(x) + \frac{1}{x} \), et compare la méthode de dérivation.
- Ajoute une question de position relative entre deux courbes avant de calculer une intégrale.
Un conseil pour finir : refais cet exercice sans le corrigé sous les yeux, puis compare chaque justification, pas seulement les résultats finaux. C’est dans la rigueur du raisonnement que se jouent les points au bac.
Questions fréquentes sur les exercices de fonctions
Où puis-je trouver un exercice corrigé pour l’étude de fonctions en PDF ?
Tu peux télécharger des annales du bac sur les sites académiques, consulter les ressources pédagogiques proposées par ton lycée, ou utiliser une version imprimable de cette page. Choisis de préférence un document qui sépare nettement l’énoncé du corrigé et qui traite l’ensemble des étapes : domaine, limites, dérivée, signe et tableau de variations.
Comment comprendre les fonctions facilement ?
Le plus efficace est de relier chaque calcul à une information visuelle sur la courbe. Le domaine de définition indique où la courbe existe, la dérivée donne le sens de variation, et les limites décrivent le comportement aux bornes. Adopte toujours le même ordre de résolution et entraîne-toi sur plusieurs exercices courts avant de t’attaquer à une étude complète.
Quels sont les 3 types de fonctions ?
Il n’existe pas de classement officiel limité à trois catégories. Pour te donner des repères utiles en Terminale spécialité mathématiques, trois grandes familles structurent le programme : les fonctions polynomiales ou rationnelles, les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmes. Les méthodes de dérivation, de calcul de limites et d’étude de variations s’adaptent à chacune de ces familles.
