Sujet bac probabilités : maîtrise les arbres, la binomiale et les conditionnelles

Les probabilités au bac, c’est le genre d’exercice où tu peux perdre des points bêtement même quand tu connais le cours. Une lecture trop rapide. Une formule mal choisie. Un arbre lu dans le mauvais sens. Et hop, deux points envolés — alors que le raisonnement était bon.

Le sujet Métropole 2011 est un cas d’école. Pourquoi ? Parce qu’il combine en un seul énoncé les trois notions qui reviennent chaque année au bac : l’arbre pondéré, les probabilités conditionnelles avec la formule des probabilités totales, et la loi binomiale avec l’intervalle de fluctuation. C’est EXACTEMENT le genre d’exercice qui tombe en spécialité maths en terminale générale, et qu’on retrouve systématiquement dans les annales depuis plus de dix ans.

Ce que je te propose, c’est un traitement en deux temps. D’abord, un rappel très ciblé des trois notions-clés — pas un cours de 20 pages, juste ce qu’il faut pour avoir les réflexes au bon moment. Ensuite, le corrigé complet du sujet Métropole 2011, question par question, avec la méthode, les calculs détaillés et surtout la rédaction exacte que tu dois reproduire sur ta copie le jour J.

À la fin, on regarde ensemble les pièges dans lesquels tombent même les élèves sérieux, je te donne trois exercices d’entraînement, et on termine par la FAQ qui répond aux questions que les lycéens tapent vraiment sur Google.

Tu vas sortir de cet article en sachant lire un arbre sans hésiter, appliquer la formule des probabilités totales comme un réflexe, et rédiger une question de loi binomiale sans te faire reprendre par le correcteur.

Les trois notions-clés à maîtriser avant d’attaquer le corrigé

Avant de plonger dans la correction du sujet Métropole 2011, on fait un point rapide sur les trois outils mathématiques qui structurent tout l’exercice. Si tu maîtrises ces trois notions, tu peux traiter n’importe quel sujet bac probabilités. Pour l’arbre pondéré spécifiquement, une méthode de l’arbre pondéré pas à pas existe si tu veux approfondir.

L’arbre pondéré : lire, construire, interpréter

Un arbre pondéré, c’est ta carte routière dans un exercice de probas. Il représente visuellement l’enchaînement des situations possibles, niveau par niveau.

Comment ça se construit : Tu pars d’un point de départ à gauche, et chaque « embranchement » correspond à une issue possible. Sur chaque branche, tu écris la probabilité correspondante. Si un événement est suivi d’un second tirage ou d’un second test, tu continues vers la droite avec un deuxième niveau de branches.

La règle fondamentale : la somme des probabilités sur les branches issues d’un même nœud vaut toujours 1. Si à un nœud tu as la branche « Succès » avec une probabilité 0,3, alors la branche « Échec » porte la probabilité 0,7 — sans exception.

Ensuite, pour lire l’arbre correctement, tu dois distinguer deux choses très différentes :

• Une probabilité sur une branche : elle représente une probabilité conditionnelle. La branche qui mène à B après A indique P_A(B) — la probabilité que B se réalise sachant que A est déjà réalisé.
• Une probabilité d’intersection : P(A∩B) = P(A) × P_A(B). Tu multiplies la probabilité de la première branche par celle de la seconde. C’est le produit le long du chemin.

Exemple concret : Un test médical donne un résultat positif chez 95 % des personnes malades. La maladie touche 2 % de la population. On construit l’arbre : premier niveau → Malade (0,02) ou Sain (0,98). Deuxième niveau depuis « Malade » → Positif (0,95) ou Négatif (0,05). Deuxième niveau depuis « Sain » → Positif (0,03 — faux positif) ou Négatif (0,97).

Que vaut P(Malade ∩ Positif) ? Tu longes le chemin : 0,02 × 0,95 = 0,019.

Le piège numéro 1 : Beaucoup d’élèves lisent la branche et croient avoir P(A∩B) alors qu’ils ont P_A(B). La branche, c’est une probabilité conditionnelle. L’intersection, c’est le produit du chemin complet. Ne les confonds jamais.

La formule des probabilités totales : le couteau suisse du bac

Cette formule, c’est probablement la plus utile de tout le programme de terminale en probas. Elle te permet de calculer la probabilité d’un événement B quand tu connais sa probabilité conditionnelle selon plusieurs situations A₁, A₂, …, A_n qui sont une partition de l’univers (c’est-à-dire des événements incompatibles dont la réunion forme tous les cas possibles).

La formule : P(B) = P(A₁ ∩ B) + P(A₂ ∩ B) + … + P(A_n ∩ B)

En pratique, dans un arbre, cela signifie : pour calculer la probabilité d’un événement situé à droite, tu additionnes les probabilités de tous les chemins qui y mènent.

Reprenons l’exemple du test médical. Quelle est la probabilité que le test soit positif ? Deux chemins mènent à « Positif » :

• Malade ∩ Positif : 0,02 × 0,95 = 0,019
• Sain ∩ Positif : 0,98 × 0,03 = 0,0294

P(Positif) = 0,019 + 0,0294 = 0,0484.

Ce qui est puissant avec cette formule, c’est qu’elle te débloque des situations où tu ne peux pas lire directement P(B) dans l’énoncé — tu dois la reconstituer en passant par tous les scénarios possibles.

Le sujet Métropole 2011 utilise précisément cette formule dans sa première partie pour calculer une probabilité totale. On la détaillera dans le corrigé.

La loi binomiale : les trois conditions à vérifier absolument

La loi binomiale modélise une situation très précise : tu répètes plusieurs fois la même expérience, dans des conditions identiques, et tu t’intéresses au nombre total de succès.

Les trois conditions pour utiliser la loi binomiale :

1. L’expérience est répétée n fois, de manière identique.
2. Chaque répétition est indépendante des autres (tirage avec remise, ou assimilé).
3. Chaque expérience n’a que deux issues possibles : succès (probabilité p) ou échec (probabilité 1−p).

Si ces trois conditions sont réunies, la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n ; p).

La formule : P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1−p)^n−k

Où C(n, k) est le coefficient binomial « k parmi n », que tu obtiens à la calculatrice ou par la formule C(n, k) = n! / (k!(n−k)!).

Quand tu rédiges ta copie, tu dois TOUJOURS justifier pourquoi X suit une loi binomiale avant d’appliquer la formule. Un correcteur attend que tu cites explicitement les conditions — ou que tu dises « l’expérience consiste à répéter n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p, donc X suit la loi binomiale B(n, p) ».

Le sujet Métropole 2011 contient une partie entière sur la loi binomiale. On y appliquera tout ça avec une rédaction irréprochable.

Maintenant que tu as les notions en tête, voici comment choisir la bonne formule face à n’importe quel énoncé.

Choisir la bonne méthode : le tableau de bord des probas au bac

Face à un énoncé de probabilités au bac, le vrai risque n’est pas de ne pas savoir calculer — c’est de perdre 30 secondes à hésiter sur la bonne méthode, puis de te lancer dans un calcul bancal. Avec le stress du jour J, ça arrive plus souvent qu’on ne le croit.

Voici une méthode en 4 étapes qui te fait gagner du temps et évite les erreurs d’aiguillage.

La méthode en 4 étapes

Étape 1 — Repérer les données de l’énoncé. Un arbre est-il déjà dessiné ou décrit ? As-tu des probabilités conditionnelles explicites (« sachant que », « parmi les », « si… alors ») ? As-tu un tableau croisé ? Identifie la structure visuelle de l’exercice avant de te lancer.

Étape 2 — Chercher un conditionnement. Les mots « sachant que », « parmi ceux qui », « on choisit un… et on constate que… » signalent une probabilité conditionnelle. Tu vas devoir utiliser P_A(B) = P(A∩B) / P(A).

Étape 3 — Vérifier les conditions d’une binomiale. L’énoncé parle-t-il de « n tirages identiques », « avec remise », « de manière indépendante », d’une variable X qui « compte le nombre de succès » ? Si oui, tu es en territoire binomial.

Étape 4 — Choisir la formule adaptée. Selon la question posée, tu sélectionnes le bon calcul : intersection simple (produit le long du chemin), probabilité totale (somme de tous les chemins), conditionnelle (formule de Bayes implicite ou explicite), ou binomiale (avec le coefficient C(n, k)).

Et pour que tu aies une vue panoramique, voici le tableau de correspondance qui relie chaque notion du programme aux indices concrets que tu vas rencontrer dans les sujets de bac.

Notion	Indice dans l’énoncé	Formule utile	Exemple de question bac	Erreur fréquente
Arbre pondéré	« on considère l’arbre ci-contre », probas en pourcentages	P(A∩B) = P(A) × PA(B)	« Déterminer la probabilité de l’événement A∩B »	Confondre la probabilité conditionnelle sur la branche avec l’intersection
Probabilité conditionnelle	« sachant que », « parmi les », « si on sait que… »	PA(B) = P(A∩B) / P(A)	« Calculer la probabilité que… sachant que… »	Inverser A et B dans la formule
Probabilités totales	« en utilisant l’arbre », « en déduire la probabilité »	P(F) = Σ P(Ei ∩ F)	« Montrer que la probabilité de l’événement F est… »	Oublier un chemin dans la somme
Loi binomiale	« tirage avec remise », « n fois de suite », X = nombre de…	P(X=k) = C(n,k) × pk × (1−p)n−k	« Justifier que X suit une loi binomiale »	Appliquer la binomiale sans avoir vérifié l’indépendance

Garde ce tableau en tête quand tu lis un énoncé. Les indices sont précis, et une fois que tu sais les repérer, le choix de la formule devient automatique.

Passons à l’application concrète avec le sujet Métropole 2011.

Corrigé Métropole 2011 – Partie 1 : arbre pondéré et probabilités conditionnelles

Le sujet Métropole 2011, dans sa version spécialité mathématiques, comporte deux grandes parties. La première mobilise tout ce qu’il faut savoir sur les arbres pondérés, les intersections et les probabilités conditionnelles. La seconde, qu’on verra juste après, bascule sur la loi binomiale.

Je te donne ici une correction intégrale, rédigée comme tu devrais le faire sur ta copie.

L’énoncé décrypté : ce qu’on te demande vraiment

Voici l’énoncé de la première partie, reformulé pour qu’on voie clairement la structure.

Une usine fabrique des pièces métalliques. Celles-ci proviennent de deux machines, notées A et B. La machine A produit 40 % des pièces, la machine B en produit 60 %.

La machine A produit 10 % de pièces défectueuses. La machine B en produit 5 %.

On prélève une pièce au hasard dans la production totale. On note :

• A l’événement « la pièce provient de la machine A » ;
• B l’événement « la pièce provient de la machine B » ;
• D l’événement « la pièce est défectueuse ».

1. Construire un arbre pondéré représentant la situation.
2. Calculer la probabilité P(A ∩ D) que la pièce provienne de la machine A et soit défectueuse.
3. Montrer que la probabilité que la pièce soit défectueuse est P(D) = 0,07.
4. La pièce prélevée est défectueuse. Quelle est la probabilité qu’elle provienne de la machine A ?
5. Calculer P_D(B) et interpréter le résultat.

Ce que l’énoncé te demande vraiment :

• Question 1 : Construire un arbre à 2 niveaux (provenance, puis qualité de la pièce), en plaçant correctement les probabilités sur chaque branche.
• Question 2 : Multiplication le long du chemin A → D. Intersection simple.
• Question 3 : Probabilités totales. Deux chemins mènent à D : A→D et B→D. Tu les additionnes.
• Question 4 : Probabilité conditionnelle P_D(A) — tu connais P(A∩D) et P(D), tu appliques la formule.
• Question 5 : Même logique pour P_D(B), avec une phrase d’interprétation en français.

Correction pas à pas : poser l’arbre, appliquer la formule

Question 1 — Construction de l’arbre pondéré

Tu commences toujours par le premier niveau : la provenance de la pièce. L’énoncé te donne directement P(A) = 0,40 et P(B) = 0,60. Vérifie que la somme fait 1 : 0,40 + 0,60 = 1. C’est bon.

Au deuxième niveau, depuis chaque machine, tu branches la qualité de la pièce : défectueuse (D) ou non défectueuse (D-barre). Les probabilités conditionnelles sont données :

• P_A(D) = 0,10 et donc P_A(D-barre) = 0,90
• P_B(D) = 0,05 et donc P_B(D-barre) = 0,95

L’arbre complet se présente comme suit (je le décris pour que tu puisses le visualiser et le tracer) :

Point de départ
├── A (0,40)
│   ├── D (0,10)
│   └── D-barre (0,90)
└── B (0,60)
    ├── D (0,05)
    └── D-barre (0,95)

Chaque nœud a bien des branches dont la somme fait 1. L’arbre est correctement pondéré.

Question 2 — Calcul de P(A ∩ D)

On te demande la probabilité de l’intersection : pièce provenant de A ET défectueuse. Dans l’arbre, c’est le chemin complet qui passe par A puis D.

Méthode : P(A ∩ D) = P(A) × P_A(D) = 0,40 × 0,10 = 0,04.

Phrase de réponse : « La probabilité que la pièce provienne de la machine A et soit défectueuse est de 0,04. »

Question 3 — Probabilité totale P(D)

L’événement D (pièce défectueuse) peut se produire de deux façons : la pièce vient de A ET elle est défectueuse, OU la pièce vient de B ET elle est défectueuse.

Formule des probabilités totales : P(D) = P(A ∩ D) + P(B ∩ D).

Tu connais déjà P(A ∩ D) = 0,04. Calculons P(B ∩ D) :

P(B ∩ D) = P(B) × P_B(D) = 0,60 × 0,05 = 0,03.

Donc P(D) = 0,04 + 0,03 = 0,07. La question demandait de « montrer que P(D) = 0,07 » — c’est fait.

Question 4 — Probabilité conditionnelle P_D(A)

La pièce prélevée est défectueuse. Quelle est la probabilité qu’elle vienne de A ? C’est une probabilité conditionnelle « à l’envers » : tu connais l’issue (D) et tu veux remonter à la cause (A).

La formule : P_D(A) = P(A ∩ D) / P(D).

Tu as calculé P(A ∩ D) = 0,04 et P(D) = 0,07. Donc :

P_D(A) = 0,04 / 0,07 = 4/7 ≈ 0,5714 (soit environ 57,1 %).

Phrase d’interprétation : « Sachant que la pièce est défectueuse, la probabilité qu’elle provienne de la machine A est de 4/7. »

Question 5 — Calcul de P_D(B) et interprétation

Même logique. P_D(B) = P(B ∩ D) / P(D) = 0,03 / 0,07 = 3/7 ≈ 0,4286 (soit environ 42,9 %).

Interprétation : « Sachant que la pièce est défectueuse, la probabilité qu’elle provienne de la machine B est de 3/7. »

Remarque : la somme des deux probabilités conditionnelles P_D(A) + P_D(B) fait 4/7 + 3/7 = 1. C’est logique : si la pièce est défectueuse, elle vient soit de A, soit de B. Aucun autre cas possible.

La rédaction type pour le jour J

Sur une copie de bac, voici exactement ce que tu dois écrire pour décrocher tous les points de la partie 1.

Question 1 :
« On construit l’arbre pondéré représentant la situation. Premier niveau : P(A) = 0,40 et P(B) = 0,60. Deuxième niveau : P_A(D) = 0,10, P_A(D-barre) = 0,90, P_B(D) = 0,05, P_B(D-barre) = 0,95. »

Tu traces l’arbre à côté. N’oublie pas d’indiquer les probabilités sur chaque branche.

Question 2 :
« On cherche P(A ∩ D). D’après l’arbre, P(A ∩ D) = P(A) × P_A(D) = 0,40 × 0,10 = 0,04. »

Question 3 :
« D’après la formule des probabilités totales : P(D) = P(A ∩ D) + P(B ∩ D).
P(B ∩ D) = P(B) × P_B(D) = 0,60 × 0,05 = 0,03.
Donc P(D) = 0,04 + 0,03 = 0,07. »

Question 4 :
« On cherche P_D(A). Par définition, P_D(A) = P(A ∩ D) / P(D) = 0,04 / 0,07 = 4/7.
Sachant que la pièce prélevée est défectueuse, la probabilité qu’elle provienne de la machine A est de 4/7. »

Question 5 :
« De même, P_D(B) = P(B ∩ D) / P(D) = 0,03 / 0,07 = 3/7.
Sachant que la pièce est défectueuse, la probabilité qu’elle provienne de la machine B est de 3/7. »

Le détail qui fait la différence : les mots « d’après l’arbre », « par définition », « d’après la formule des probabilités totales ». Ces expressions montrent au correcteur que tu sais justifier ta démarche — pas juste aligner des calculs.

Corrigé Métropole 2011 – Partie 2 : loi binomiale et intervalle de fluctuation

La seconde partie du sujet Métropole 2011 bascule sur un contexte différent. Fini l’arbre — on passe à la loi binomiale. C’est le moment de montrer que tu sais repérer un schéma de Bernoulli et utiliser les formules sans te tromper.

L’énoncé décrypté : repérer le schéma de Bernoulli

Voici la suite de l’énoncé.

On prélève au hasard 10 pièces dans la production totale. Le stock est suffisamment important pour que ce prélèvement puisse être assimilé à un tirage avec remise.

On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de pièces défectueuses parmi les 10 prélevées.

1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer la probabilité P(X = 0). Interpréter le résultat.
3. Calculer la probabilité P(X ≥ 1).
4. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la proportion de pièces défectueuses dans un échantillon de taille 10. Interpréter le résultat.
5. Calculer l’espérance E(X). Que représente concrètement ce nombre ?

Décryptage :

• Question 1 : Tu dois justifier les trois conditions de la binomiale ET donner n et p. Ne te contente pas de balancer « X suit B(10 ; 0,07) ». Explique pourquoi.
• Question 2 : P(X = 0) = aucune pièce défectueuse. Applique la formule avec k = 0.
• Question 3 : P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0). Passe par l’événement contraire, c’est plus rapide.
• Question 4 : Intervalle de fluctuation. La formule du programme : [p − 1/√n ; p + 1/√n] pour un intervalle à environ 95 %. Attention aux conditions d’application.
• Question 5 : Espérance E(X) = np, avec une phrase d’interprétation concrète.

Correction pas à pas : paramètres de la binomiale, calculs et intervalle

Question 1 — Justifier la loi binomiale

L’expérience consiste à prélever une pièce et à noter si elle est défectueuse. C’est une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0,07 (la probabilité qu’une pièce soit défectueuse, trouvée dans la partie 1).

On répète cette expérience n = 10 fois, de manière indépendante (le tirage est assimilé à un tirage avec remise parce que le stock est très grand).

Chaque épreuve a deux issues : succès (« la pièce est défectueuse ») avec p = 0,07, ou échec avec 1 − p = 0,93.

Les trois conditions sont réunies. X suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,07.

Question 2 — Calcul de P(X = 0)

Formule : P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1−p)^n−k

Avec k = 0 : C(10, 0) = 1 (par convention), p⁰ = 1, (1−p)¹⁰ = 0,93¹⁰.

P(X = 0) = 1 × 1 × 0,93¹⁰ ≈ 0,4840 (calculatrice).

Interprétation : « La probabilité qu’aucune pièce parmi les 10 prélevées ne soit défectueuse est d’environ 0,484. Autrement dit, il y a environ 48,4 % de chances que l’échantillon ne contienne aucun défaut. »

Question 3 — Calcul de P(X ≥ 1)

Plutôt que de sommer P(X = 1) + P(X = 2) + … + P(X = 10), passe par l’événement contraire :

P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,4840 = 0,5160.

« La probabilité qu’au moins une pièce sur les 10 soit défectueuse est d’environ 0,516. »

Question 4 — Intervalle de fluctuation asymptotique à 95 %

La formule vue en terminale : I = [p − 1/√n ; p + 1/√n].

Avec p = 0,07 et n = 10 :

• 1/√n = 1/√10 ≈ 1/3,162 ≈ 0,316
• Borne inférieure : 0,07 − 0,316 = −0,246 → on ramène à 0 (une proportion ne peut pas être négative)
• Borne supérieure : 0,07 + 0,316 = 0,386

L’intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % est donc : I = [0 ; 0,386].

Interprétation : « Dans un échantillon aléatoire de 10 pièces, la proportion de pièces défectueuses a environ 95 % de chances de se trouver entre 0 % et 38,6 %. Si la proportion observée dépasse 38,6 %, on pourra considérer au seuil de 95 % que la production n’est pas conforme au taux annoncé de 7 %. »

Rappel intervalle de fluctuation : La formule I = [p − 1/√n ; p + 1/√n] est valable pour un intervalle de fluctuation à environ 95 %. Les conditions d’application : n ≥ 30, np ≥ 5, n(1−p) ≥ 5 doivent être vérifiées. Ici, n = 10, donc les conditions ne sont pas tout à fait remplies (n < 30) — l’intervalle obtenu est une approximation à utiliser avec prudence. Dans la pratique du bac, on applique la formule telle qu’elle est donnée dans le programme, mais il est utile de mentionner cette limite dans l’interprétation.

Piège : ne pas confondre intervalle de fluctuation et intervalle de confiance. L’intervalle de fluctuation concerne la variabilité d’échantillonnage autour d’une proportion théorique p connue. L’intervalle de confiance (vu en terminale aussi) sert à estimer p à partir d’une fréquence observée f dans un échantillon : IC = [f − 1/√n ; f + 1/√n]. L’un part de p, l’autre part de f. Ne les intervertis pas.

Question 5 — Espérance E(X)

E(X) = n × p = 10 × 0,07 = 0,7.

Interprétation : « Sur un grand nombre d’échantillons de 10 pièces, on peut s’attendre à observer en moyenne 0,7 pièce défectueuse par échantillon. Concrètement, cela signifie qu’avec un taux de défaut de 7 %, la plupart des échantillons de 10 pièces contiennent 0 ou 1 pièce défectueuse. »

La rédaction type question binomiale

Sur ta copie, voici le canevas à suivre pour une question de loi binomiale.

Justification :
« L’expérience consiste à répéter n = 10 fois, de manière indépendante, une épreuve de Bernoulli où le succès est « la pièce est défectueuse » avec une probabilité p = 0,07. La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit donc la loi binomiale B(10 ; 0,07). »

Calcul d’une probabilité :
« P(X = k) = C(10, k) × 0,07^k × 0,93^10−k.
Pour k = 0, P(X = 0) = 0,93¹⁰ ≈ 0,484. »

Calcul avec événement contraire :
« P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,484 = 0,516. »

Espérance :
« E(X) = n × p = 10 × 0,07 = 0,7. En moyenne, sur un grand nombre de prélèvements de 10 pièces, on observera 0,7 pièce défectueuse par échantillon. »

Intervalle de fluctuation :
« Un intervalle de fluctuation asymptotique à environ 95 % de la proportion dans un échantillon de taille 10 est : I = [p − 1/√n ; p + 1/√n] = [0,07 − 1/√10 ; 0,07 + 1/√10] ≈ [0 ; 0,386]. »

Ce modèle de rédaction, appliqué rigoureusement, te garantit la note maximale sur cette partie.

La correction est claire ? Pourtant, même les bons élèves tombent dans ces pièges.

Les 5 erreurs qui font perdre des points aux probas du bac (et comment les éviter)

Les probabilités, c’est traître. Le raisonnement te paraît fluide, tu poses tes calculs, tu rends ta copie confiant — et en relisant, tu découvres le point en moins. Voici les cinq erreurs les plus fréquentes au bac, avec le bon réflexe pour chacune.

1. Confondre P(A|B) et P(B|A)

L’erreur classique d’inversion. Tu lis l’arbre, tu vois une branche, tu sais que c’est une probabilité conditionnelle — mais laquelle ? P_A(B) ou P_B(A) ? L’énoncé te demande P_D(A) (probabilité que la pièce vienne de A sachant qu’elle est défectueuse) et toi tu utilises 0,10 qui est en réalité P_A(D).

Le bon réflexe : Écris systématiquement la formule P(A|B) = P(A∩B) / P(B) et repère qui est le « sachant ». Le dénominateur, c’est toujours l’événement après la barre.

2. Oublier l’événement contraire dans l’arbre

Dans un arbre pondéré, chaque nœud doit avoir des branches dont la somme fait 1. Si l’énoncé te donne P_A(D) = 0,10, alors la branche complémentaire P_A(D-barre) vaut 0,90. Beaucoup d’élèves oublient de la noter — et se trompent ensuite dans le calcul des intersections.

Le bon réflexe : À chaque fois que tu poses une probabilité sur une branche, demande-toi immédiatement « quelle est la probabilité contraire ? » et note-la.

3. Lire l’arbre à l’envers

La branche qui part de A vers D porte la probabilité P_A(D), c’est-à-dire la probabilité conditionnelle de D sachant A. Ce n’est pas P(A∩D). Pour avoir l’intersection, tu dois multiplier par la probabilité de A.

Le bon réflexe : Visualise le chemin complet. La première branche représente l’événement du premier niveau (ex : P(A) = 0,40). La seconde branche représente la conditionnelle (ex : P_A(D) = 0,10). L’intersection, c’est le produit des deux.

4. Appliquer la loi binomiale sans vérifier les conditions

Sortir le coefficient binomial et la formule P(X=k) = C(n,k) p^k (1−p)^n−k, c’est tentant — mais encore faut-il que les épreuves soient bien indépendantes et que p soit constant. Si l’énoncé ne précise pas « tirage avec remise » ou « prélèvement assimilé à un tirage avec remise » (car le stock est très grand), tu ne peux pas utiliser la binomiale.

Le bon réflexe : Avant tout calcul, repère dans l’énoncé la phrase qui justifie l’indépendance des tirages. Si tu ne la trouves pas, mentionne que tu la supposes pour appliquer la binomiale — mais ne l’applique pas sans commentaire.

5. Utiliser la formule d’intervalle de fluctuation sans vérifier les conditions

La formule I = [p − 1/√n ; p + 1/√n] est un intervalle de fluctuation asymptotique à environ 95 %. Elle repose sur des conditions d’approximation : n ≥ 30, np ≥ 5 et n(1−p) ≥ 5. Si ces conditions ne sont pas remplies (comme dans notre exemple avec n = 10), l’intervalle reste calculable mais son interprétation est fragile.

Le bon réflexe : Vérifie les conditions avant d’écrire l’intervalle. Si elles ne sont pas satisfaites, précise-le dans ta réponse — tu montres au correcteur que tu connais les limites de la formule, ce qui valorise ta copie.

Pour vérifier que tu ne reproduis pas ces erreurs, voici 3 exercices.

Trois exercices type bac pour t’entraîner en conditions réelles

Maintenant que tu as vu la correction de Métropole 2011 en profondeur, le meilleur moyen de vérifier que la logique est bien ancrée, c’est de t’entraîner sur d’autres énoncés. Je t’en propose trois, calqués sur le même format que le bac. Essaie de les faire en conditions réelles — sans regarder les réponses tout de suite.

Exercice 1 : arbre et probabilités conditionnelles

Une compagnie d’assurance classe ses assurés en deux catégories : les « bons conducteurs » (70 % des assurés) et les « conducteurs à risque » (30 %).

Chez les bons conducteurs, 5 % ont eu un accident dans l’année. Chez les conducteurs à risque, ce taux monte à 20 %.

On choisit un assuré au hasard. On note B l’événement « l’assuré est un bon conducteur », R l’événement « l’assuré est un conducteur à risque », et A l’événement « l’assuré a eu un accident dans l’année ».

1. Construire l’arbre pondéré.
2. Calculer P(B ∩ A).
3. Calculer P(A) en utilisant la formule des probabilités totales.
4. L’assuré choisi a eu un accident. Calculer la probabilité qu’il soit un conducteur à risque.

Réponses :

1. Arbre : premier niveau — B (0,70) et R (0,30) ; depuis B — A (0,05) et A-barre (0,95) ; depuis R — A (0,20) et A-barre (0,80).
2. P(B ∩ A) = 0,70 × 0,05 = 0,035.
3. P(A) = P(B ∩ A) + P(R ∩ A) = 0,035 + (0,30 × 0,20) = 0,035 + 0,06 = 0,095.
4. P_A(R) = P(R ∩ A) / P(A) = 0,06 / 0,095 = 12/19 ≈ 0,6316 (environ 63,2 %).

Exercice 2 : loi binomiale

Un fabricant de composants électroniques affirme que 95 % de ses produits sont conformes. On prélève au hasard 15 composants dans un très grand stock (ce prélèvement est assimilé à un tirage avec remise). On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de composants conformes parmi les 15.

1. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Calculer la probabilité que les 15 composants soient tous conformes.
3. Calculer la probabilité qu’exactement 14 composants soient conformes.
4. Calculer E(X) et interpréter le résultat.

Réponses :

1. Épreuve de Bernoulli : succès = « composant conforme », p = 0,95. On répète n = 15 fois de façon indépendante (tirage avec remise). X suit B(15 ; 0,95).
2. P(X = 15) = C(15, 15) × 0,95¹⁵ × 0,05⁰ = 0,95¹⁵ ≈ 0,4633.
3. P(X = 14) = C(15, 14) × 0,95¹⁴ × 0,05¹ = 15 × 0,95¹⁴ × 0,05 ≈ 0,3658.
4. E(X) = 15 × 0,95 = 14,25. En moyenne, sur un grand nombre d’échantillons de 15 composants, on obtient 14,25 composants conformes par échantillon.

Exercice 3 : probabilités totales et formule de Bayes

Une maladie rare touche 1 % de la population. Un test de dépistage donne un résultat positif pour 98 % des personnes malades, mais aussi pour 3 % des personnes saines.

On interroge une personne au hasard. On note M l’événement « la personne est malade » et T l’événement « le test est positif ».

1. Construire l’arbre pondéré.
2. Calculer P(M ∩ T).
3. Montrer que P(T) = 0,0395.
4. La personne a un test positif. Calculer la probabilité qu’elle soit réellement malade. Commenter.

Réponses :

1. Arbre : M (0,01) et M-barre (0,99) ; depuis M — T (0,98) et T-barre (0,02) ; depuis M-barre — T (0,03) et T-barre (0,97).
2. P(M ∩ T) = 0,01 × 0,98 = 0,0098.
3. P(T) = P(M ∩ T) + P(M-barre ∩ T) = 0,0098 + (0,99 × 0,03) = 0,0098 + 0,0297 = 0,0395.
4. P_T(M) = P(M ∩ T) / P(T) = 0,0098 / 0,0395 ≈ 0,2481. Même avec un test positif, la probabilité d’être malade n’est que de 24,8 % — la maladie étant très rare, les faux positifs (3 % des 99 % de sains) pèsent lourd dans P(T).

Tes questions sur le sujet bac probabilités (FAQ rapide)

Quelle est la formule de la probabilité ?

La probabilité d’un événement A est P(A) = (nombre de cas favorables) / (nombre de cas possibles). Pour une intersection, P(A∩B) = P(A) × P_A(B). Pour des événements incompatibles, P(A∪B) = P(A) + P(B). Pour des événements quelconques, P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B).

Quelle est la loi de probabilité en terminale ?

En terminale, la loi de probabilité associe à chaque valeur d’une variable aléatoire X sa probabilité P(X=k). Les lois les plus utilisées au bac sont la loi binomiale (n répétitions indépendantes) et la loi uniforme (équiprobabilité). La somme des probabilités de toutes les valeurs vaut toujours 1.

Où trouver les sujets du bac ?

Les sujets du bac sont disponibles gratuitement sur les sites d’annales comme APMEP, Xymaths ou Math93. Les corrigés commentés sont souvent publiés par des professeurs sur ces mêmes plateformes. Les banques de sujets des années précédentes sont également une excellente ressource pour t’entraîner sur des énoncés officiels.

Sujet bac probabilité corrigé ?

Tu trouves des sujets bac probabilités corrigés sur des plateformes comme Xymaths, Labomath ou le site de l’APMEP. Le présent article te propose le corrigé détaillé du sujet Métropole 2011 pas à pas, avec la méthode de rédaction attendue le jour de l’épreuve et les pièges à éviter pour chaque question.

Sujet bac probabilité conditionnelle ?

Un sujet bac probabilité conditionnelle te demande de calculer une probabilité P_A(B) à partir d’un arbre pondéré ou d’un tableau. La formule clé est P_A(B) = P(A∩B)/P(A). Le sujet Métropole 2011 contient une partie entière sur ce thème. Apprends à lire les branches dans le bon sens pour ne pas inverser conditionnement et intersection.

Sujet bac probabilité loi binomiale ?

Un sujet bac probabilité loi binomiale te fait travailler sur une variable aléatoire X comptant le nombre de succès dans n épreuves identiques et indépendantes. Tu dois justifier les paramètres (n, p), calculer P(X=k) avec la formule C(n,k) p^k (1−p)^n−k, puis interpréter le résultat dans le contexte de l’énoncé.

Exercice type bac probabilité spé maths PDF ?

Les exercices type bac probabilité spé maths en PDF sont disponibles sur les sites d’annales comme Xymaths (format téléchargeable), APMEP et Labomath. Tu y trouveras des sujets complets avec arbres, conditionnelles, loi binomiale et intervalles de fluctuation. Les banques de sujets par académie sont aussi très utiles pour varier les énoncés.

Probabilité de faire 7 avec 2 dés ?

Avec deux dés équilibrés à 6 faces, la probabilité d’obtenir une somme de 7 est de 6/36, soit 1/6. Les six combinaisons possibles sont (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) et (6,1). Il y a 36 issues possibles au total (6 × 6), et 6 issues favorables donnant une somme de 7.